我們經常鼓勵學生，學數學不要死背公式，要多思考、多問為什麼。
可是，有沒有想過一個問題：
如果每一件事情都要問為什麼，那麼數學的起點究竟在哪裡？
這其實是一個很有意思的問題，也關係到數學這門學問是如何建立起來的。
一、如果每個定理都需要證明，第一個定理怎麼來？
假設今天我們要證明一個數學定理 A。
為了證明 A，我們可能需要先使用另一個定理 B。
但你接著問：「為什麼 B 是對的？」
於是，我們又必須拿出定理 C 來證明 B。
接著你再問：「那 C 又是怎麼證明的？」
如此不斷追問下去，似乎永遠找不到終點。
問題來了。
如果每一個數學結論，都必須依賴另一個已經證明的結論，那麼最初的證明究竟從哪裡開始？
總不能一直往前追溯，永遠沒有起點吧？
因此，建立一套數學理論時，我們必須先接受某些基本假設，不要求它們在這套系統內再被證明。
這些基本假設，就稱為「公理」。
有了公理，我們才能透過邏輯推理，一步一步建立其他定理。
二、數學名詞，也不是每個都能繼續定義
除了定理需要證明，數學名詞也有類似的問題。
例如，什麼是「直線」？
你可能會說：「直線就是不會彎曲的線。」
但什麼叫做「線」？什麼又叫做「彎曲」？
如果每個名詞都必須使用其他名詞來定義，而那些名詞又需要進一步解釋，那麼最後可能陷入無止境的追問，甚至循環定義。
因此，在建立數學系統時，我們也需要一些最基本的概念，不再利用其他概念來定義。
這就是數學中的「無定義名詞」。
例如，在現代歐氏幾何的公理化體系中，「點」與「直線」就可以作為基本概念。
我們不一定要先定義點究竟是什麼，而是透過公理，規定點與直線之間應該滿足哪些關係。
再根據這些關係，建立其他幾何性質。
這樣的做法，看起來似乎有點奇怪。但仔細想想，這其實是建立一套嚴謹知識體系所需要的安排。
三、公理不需要證明，難道就一定正確？
這是另一個值得思考的問題。
我們常說，數學追求的是嚴謹與正確。
那麼，既然公理不需要證明，是否代表公理就是不容質疑的絕對真理？
其實不是。
公理不是因為已經被證明正確，才成為公理，而是我們選擇以它作為一套數學理論的推論起點。
只要接受這些基本假設，就可以進一步研究，哪些結論能夠從中推導出來。
更有意思的是，如果改變某些公理，我們甚至可能建立另一套不同的數學理論。
幾何學的發展，就是很好的例子。
四、三角形內角和，一定是180度嗎？
國中數學告訴我們，三角形的內角和是180度。
這個性質相信大家都很熟悉。
但如果我問：
「所有三角形的內角和，都一定是180度嗎？」
答案就值得再想一想。
在我們熟悉的歐氏平面幾何中，三角形內角和確實等於180度。
但如果把研究的對象改成球面上的幾何圖形，情況就不同了。
例如，在地球表面上，從北極沿著兩條相差90度經度的經線走到赤道，再沿著赤道連接兩個交點。
這三段大圓弧形成的球面三角形，三個內角都是90度。
所以它的內角和是：
90°＋90°＋90°＝270°
咦？三角形內角和怎麼變成270度了？
因為我們已經不是在討論一般的歐氏平面幾何，而是在討論球面幾何。
在不同的幾何架構下，所成立的數學性質也可能不同。
這並不是說以前學的三角形內角和180度是錯的，而是那個結論有它適用的前提。
事實上，數學史上著名的平行公設問題，就曾經讓數學家思考了非常長的一段時間。
後來非歐幾何的發展，也讓我們逐漸理解：歐氏幾何並不是唯一可以研究的幾何系統。
五、學數學，不能只記住結論
我覺得，這個觀念對數學學習非常重要。
學生在學習數學時，很容易把課本上的定理與公式，當成永遠正確、任何情況都能直接使用的工具。
例如：
- 三角形內角和是180度。
- 兩條平行線永遠不會相交。
這些結論在熟悉的歐氏平面幾何中成立，但如果改變研究對象與基本假設，就必須重新檢視。
同樣的道理，也出現在代數裡。
例如，我們常說：
「負數不能開平方根。」
這句話如果放在實數範圍內，並沒有問題。
但是到了高中，學習複數之後，我們就引進了滿足 i²＝−1 的虛數單位 i。
原本在實數系統中無法解決的方程式：$$x²＋1＝0$$
在複數系統中，就有了兩個解：
\(x＝i\) 或 \(x＝−i\)
數學並沒有突然推翻以前所學的內容，而是透過擴充數系，讓我們能夠處理更多問題。
六、真正重要的，是知道結論在什麼條件下成立
教數學這麼多年，我越來越覺得，學生如果只會記住公式，卻不知道公式成立的條件，往往很難真正理解數學。
很多題目做錯，不一定是計算能力不好，而是忽略了適用條件。
有時候，學生甚至能把一個定理背得非常熟練，卻無法判斷什麼情況可以使用，什麼情況不可以。
所以我認為，學數學除了追問「為什麼」，還應該多問一句：
「這個結論，是建立在什麼條件之下？」
數學並不是毫無根據地宣稱某件事情永遠正確，而是在明確的假設下，透過嚴密的邏輯推理，建立可靠的結論。
我們不可能證明所有事情，也不可能定義所有名詞。
但只要清楚知道自己的起點，就能從少數基本假設出發，逐漸建立非常豐富的數學理論。
這也是數學最吸引我的地方。
從幾個簡單的概念與假設開始，竟然能透過人類的理性思考，發展出如此龐大而精密的知識體系。
而學習數學真正有價值的地方，或許不只是學會多少公式、解出多少難題。
更重要的是，逐漸養成一種習慣：
面對任何結論，都願意追問它的根據，也清楚知道它成立的條件與界限。
