人類花了四千多年，一直在計算同一個數字：π。
但如果回頭看這段歷史，真正有趣的其實不是「人類到底把 π 算到了小數點後幾位」。
因為 π 從來沒有改變。
真正一直改變的，是人類解決問題的方法。
很早以前，古巴比倫人、古埃及人就已經知道，圓周長除以直徑，大約會得到三點多。
但問題是，直線很好量，圓周卻是一條曲線。
一條彎曲的線，到底要怎麼精確測量？
兩千多年前，Archimedes 想到了一個非常漂亮的方法。
既然圓不好算，那就不要直接算圓。
他在圓的裡面畫一個正多邊形，外面再包一個正多邊形。
內接多邊形的周長一定比圓周短，外切多邊形的周長一定比圓周長。
於是真正的圓周，就被夾在兩者之間。
接下來，只要不斷增加多邊形的邊數。
六邊形、十二邊形、二十四邊形……
多邊形會愈來愈接近圓，算出來的 π 也就愈來愈準。
今天回頭看，這個想法其實已經非常接近「極限」的精神。
我們不一定直接得到那個答案，而是設計一連串愈來愈接近它的東西。
這種思想，後來成為微積分非常重要的基礎之一。
但是多邊形法有一個很現實的問題：太累了。
後來中國、印度等地的數學家，繼續增加多邊形的邊數，計算精度也愈來愈高。
可是邊數愈多，計算量就愈恐怖。
到了某個程度，限制數學家的已經不是「不知道怎麼做」。
而是「知道怎麼做，卻算不動」。
這也是數學史上一個很值得注意的現象。
很多重大突破，不一定來自更努力地使用舊方法，而是重新發明工具。
十進位記數法的成熟，讓大量計算變得容易。
代數的發展，讓人可以用符號處理過去很難表達的關係。
接下來又出現更驚人的突破。
數學家發現，π 根本不一定要靠畫圓來計算。
它竟然可以透過一串無限延伸的數學運算來逼近。
這就是無窮級數。
大約在14世紀，印度數學家 Madhava 已經利用這類方法計算 π。
從這裡開始，圓周率慢慢從一個幾何問題，轉變成分析問題。
問題也從：
「我要畫多少邊的多邊形？」
變成：
「有沒有一個收斂得更快的公式？」
到了 Ramanujan 等數學家手上，真正重要的已經不是誰比較有耐心多算幾步。
而是誰能找到更有效率的方法。
再到電腦出現之後，遊戲規則又徹底改變。
今天，人類已經可以把 π 計算到難以想像的位數。
但仔細想想，我們日常生活根本不需要這麼多位。
那為什麼還要繼續算？
因為到了這個階段，計算 π 本身已經不只是為了知道圓周率。
它也成為測試演算法、電腦運算能力，以及人類數學方法的一種方式。
所以我覺得，π 的四千年歷史真正值得學生理解的，不是背下：
哪一位數學家算到了小數點後幾位。
而是看見人類解決同一個問題的方法，如何一步一步改變。
從測量。
到幾何逼近。
從代數。
到無窮級數。
最後走向演算法與電腦。
π 從來沒有改變。
真正一直進步的，是我們思考問題的方法。
而這或許也是學習數學最重要的一件事。
不是永遠用同一種方式，把題目硬算到底。
而是在遇到困難時開始問：
「有沒有更好的方法？」
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